LexOpen   - Dit online leksikon

  Forside        


Algebra
Algebra er en gren af matematikken, der kan beskrives som en generalisering og udvidelse af aritmetikken. Navnet stammer fra arabisk, hvor Al gebr wal mokabala betyder fuldstændiggørelse og sammenligning, hvorved der sigtes til omflytning af leddene ved en lignings opløsning; araberne forstod ved algebra læren om ligninger, og om denne drejer sig størstedelen af, hvad der senere har båret navnet algebra.

Algebra udvikler og fuldstændiggør læren om de aritmetiske operationer og har til dette brug indført et tegnsprog, der indeholder tegn for regneoperationerne og for de indgående størrelser anvender betegnelser, der - i alt fald inden for visse talklasser - skal kunne betyde alle mulige værdier. Denne sidste almindeliggørelse nåede grækerne ad geometrisk vej, idet tal fremstilledes ved linjestykker, og algebras operationer blev konstruktioner; derefter gik man efterhånden over til den nu brugelige betegnelse af tal ved bogstaver, og Descartes havde i det væsentlige vort tegnsprog. De algebraiske regningsarter er: Addition, subtraktion, multiplikation, division, potensopløftning og roduddragning.

Man kan lave en grov inddeling af algebra i disse felter:
Som synonym kan anvendes bogstavregning.

Historie
Allerede de gamle grækere kendte løsningen af den kvadratiske ligning. Euklid (omtrent 300 f.Kr.), der giver løsningen geometrisk, har sandsynligvis kendt den numeriske løsning, men har valgt det geometriske bevis som mere anskueligt og også omfattende irrationale tal. Heron (omtrent 100 f.Kr.) har en numerisk løsning af en kvadratisk ligning. Diofantos (vistnok 4. århundrede e.Kr.) begyndte at indføre et tegnsprog og gav talrige eksempler på løsning af ubestemte ligninger.

Også differens- og kvotientrækker forekommer i den græske matematik. De indiske matematikere Brahmagupta (født 598 e.Kr.) og Bhaskara (født 1114 e.Kr.) behandlede bestemte ligninger af 1. og 2. grad samt ubestemte ligninger. Også araberne kendte den kvadratiske lignings løsning, hvad der fremgår af et skrift af Muhammed ibn Musa (9. århundrede e.Kr.), og fra dem kom algebra til Italien; særlig fortjeneste heraf har Leonardo fra Pisa, der omkring 1200 berejste Orienten.

Brudne potenseksponenter indførtes af franskmændene Oresme (14. århundrede) og Chuquet (15. århundrede). 1494 udkom den første trykte lærebog i algebra, forfattet af franciskaneren Luca Paciuolo, og nu fulgte i 16. århundrede flere vigtige algebraiske opdagelser: den kubiske lignings løsning, fundet af Scipio Ferro fra Bologna og Tartaglia fra Venedig, offentliggjort 1545 af Cardano fra Milano, og den bikvadratiske lignings løsning, fundet af Cardanos discipel, Ferrari. Cardano var opmærksom på, at den kubiske ligning kan have 3 reelle rødder, idet han også tog hensyn til negative rødder, mens man tidligere kun havde tænkt på de positive; han beskæftigede sig i øvrigt også med imaginære rødder. Stifel gav (1544) en metode til dannelse af binomial-koefficienterne. En overordentlig betydning for algebra havde franskmanden Vieta (født 1540), blandt andet ved hans udvikling af den algebraiske formel og tegnsproget. En almindelig teori for ligninger grundlagdes, idet englænderen Harriot (født 1560) viste, at en lignings venstre side kan opløses i lineære faktorer, og nederlænderen Girard (1629) fandt sætningen om koefficienternes afhængighed af rødderne; dog betragtede de begge kun de reelle rødder. Gennem Descartes' analytiske geometri fik algebraen en grafisk fremstilling af en lignings rødder, der fremmede dens udvikling meget. Leibnitz anvendte determinanter; Newton udvidede binomialformlen til alle eksponenter og berigede ligningernes teori på flere punkter. Denne teori gik især stærkt frem efter indførelsen af den geometriske fremstilling af de komplekse tal (Wessel 1797, Gauss 1799); fundamentalsætningen: en ligning af n'te grad har n rødder, bevistes (d'Alembert, Gauss, Argand, Cauchy). Opmærksomheden var naturligvis stadig henvendt på spørgsmålet om, hvorvidt den almindelige ligning af n'te grad kan løses algebraisk, det vil sige hvorvidt dens rødder kan udtrykkes ved koefficienterne gennem algebraiske operationer. Den binome ligning, der tidligere var løst af Moivre, blev løst algebraisk af Gauss; Abel viste, at den er indbefattet i en almindeligere klasse ligninger, der kan løses algebraisk, samt at en almindelig ligning af højere end 4. grad ikke kan løses algebraisk. Videre undersøgelser af Abel, Galois, Hermite og Kronecker har i det væsentlige besvaret spørgsmålet. Flere ligninger med flere ubekendte er blevet behandlet af Euler, Bézout, Poisson og Sylvester.

Som andre afsnit af algebra, der blev stærkt udviklede i 18. og 19. århundrede kan nævnes: Læren om de lineære transformationer (Cayley, Sylvester, Hesse, Aronhold, Clebsch, Hermite), og om andre entydige transformationer (S. Kantor, Wiman), substitutionsteorien (Lagrange, Cauchy, Galois) og læren om uendelige determinanter (Hill, Poincaré, Koch). Ligningers teori søges udvidet ved undersøgelser over hele transcendente funktioners nulpunkter (Jensen).